数学实验 on 于汝川的个人网站

群体免疫与 SIR 模型

Fri, 10 Apr 2020 00:00:00 +0000

如果把传染病的爆发比作一场吞噬易感人群的森林大火，那么“康复并获得免疫抗体的人群”就是森林中被提前砍伐出的隔离防火带。

在现实中，许多传染病（如麻疹、天花、腮腺炎及冠状病毒）在人体康复后，会产生持久的特异性免疫力。经典 SIR 动力学模型（由 Kermack 与 McKendrick 于 1927 年提出）通过三组耦合的非线性微分方程，优雅地揭示了疫情蔓延的终极机理：当免疫屏障达到临界阈值 $1 - 1/R_0$ 时，火势将彻底失去自持蔓延的燃料。

传染病模型

Wed, 29 Jan 2020 00:00:00 +0000

在微观病毒的视角里，人类社会不过是一个由“易感节点”和“传播通路”构成的动力学网络。

从疫情初期的恐慌性指数飙升，到 Logistic 曲线的饱和拐点，再到地方性流行的稳态平衡，传染病的蔓延轨迹从来不是凭空发生的玄学，而是被常微分方程（ODE）严格锁定的数学演化。

阳性的误区

Tue, 17 Dec 2019 00:00:00 +0000

如果一份体检报告告诉你某种罕见病的检测准确率高达 $99%$，且你的检测结果呈阳性，先别忙着交代后事——因为从数学上看，你实际患病的概率可能连 $10%$ 都不到。

鸭子游泳问题

Mon, 23 Sep 2019 00:00:00 +0000

如果把 4 只鸭子扔进一个圆形池塘里自由游弋，它们碰巧全都挤在“同一个半圆里”的概率有多大？

初看这道流传在技术面试和数学竞赛中的趣味题，不少人的第一反应是无从下手：圆形池塘是二维连续空间，半圆的朝向有无穷多个，难道要列出二重积分去算点集测度吗？

最优停止理论

Fri, 20 Sep 2019 00:00:00 +0000

如何在人生不可逆的选择洪流中，优雅地避开“过早将就”与“错失良机”这两大经典悲剧？

无论是在有限预算内看房、在固定招聘季面试候选人，还是在茫茫人海中寻觅人生伴侣，决策者都会被同一副无情的现实枷锁死死锁住：看过的不能回头，没看过的无法预知。

二孩性别问题

Thu, 19 Sep 2019 00:00:00 +0000

在概率论的江湖里，有两样东西最容易引发争吵：一是三门问题，二就是“邻居家有两个孩子”。

“已知家里有一个是女孩，另一个也是女孩的概率是多少？”——看似一句小学生都能读懂的大白话，但在数学家眼里，它至少潜藏着两种完全不同的样本空间过滤机制。如果你在社交平台上抛出这个问题，大概率会收获两拨争得面红耳赤的群体：一派坚信是 $1/3$，另一派誓死捍卫 $1/2$。

蒙提霍尔问题

Wed, 18 Sep 2019 00:00:00 +0000

人类的大脑在漫长的进化史中，主要是为了在稀树草原上追逐猎物和躲避猛兽而设计的——这直接导致我们在面对“条件概率”时，直觉常常像刚学会走路的企鹅一样笨拙。